
\prob{0005}{和为合数}

$a, b, c, d$为正整数，$ab = cd$，求证：$a + b + c + d$为合数。
\problabels{yellow/数论, green/证明题}

\subsection{化为乘积}

基本思路：利用$ab = cd$，将$a + b + c + d$化为两个大于1的正整数的乘积。

因为$ab = cd$，则$\sfrac ac = \sfrac db$。设$\sfrac ac = \sfrac db = \sfrac mn$，其中$\sfrac mn$是最简分数。则$a = mp, c = np, d = mq, b = nq$，其中$p, q$是正整数。因此，

\begin{align*}
  a + b + c + d
  &= mp + nq + np + mq \\
  &= (m + n)(p + q) \\
\end{align*}

因此，$a + b + c + d$是合数。证毕。
